18222. В описанном четырёхугольнике ABCD
оказалось, что \angle ABC=\angle ACD=90^{\circ}
. Известно, что AB=5
, BC=3
. Найдите CD
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Указание. Обозначьте CD=x
и выразите двумя способами квадрат отрезка AD
.
Решение. Обозначим CD+x
. Из прямоугольных треугольников ABC
и ACD
получаем
AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}=(AB^{2}+BC^{2})+CD^{2}=(25+9)+x^{2}=34+x^{2}.
В то же время, по свойству описанного четырёхугольника (см. задачу 310)
AB+CD=BC+AD~\Rightarrow~AD^{2}=(AB+CD-BC)^{2}=(5+x-3)^{2}=(2+x)^{2}.
Значит,
(2+x)^{2}=34+x^{2}~\Leftrightarrow~34+x^{2}=4+4x+x^{2}~\Leftrightarrow~x=\frac{15}{2}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 10.5.1, 10 класс