18224. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоту AD
. Вписанные окружности треугольников ABD
и ACD
касаются AD
в точках P
и Q
соответственно и касаются BC
в точках X
и Y
соответственно. Прямые PX
и QY
пересекаются в точке Z
. Найдите площадь треугольника XYZ
, если известно, что BC=22
, AD=12
, а периметр треугольника ABC
равен 56.
Ответ. 9.
Решение. Из равенств
DX=\frac{BD+AD-AB}{2}~\mbox{и}~DY=\frac{AD+CD-AC}{2}
(см, задачу 219) получаем
XY=DX+DY=\frac{(BD+AD-AB)+(AD+CD-AC)}{2}=
\frac{(BD+CD)+2AD-(AB+AC)}{2}=\frac{BC-(P_{\triangle ABC}-BC)}{2}+AD=
=\frac{22-(56-22)}{2}+12=\frac{44-56}{2}+12=-6+12=6.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABD
и ACD
соответственною. Тогда DPO_{1}X
и DQO_{2}Y
— квадраты, поэтому
\angle PXD=\angle XDO_{1}=45^{\circ}~\mbox{и}~\angle QYD=\angle YDO_{2}=45^{\circ}.
Значит, треугольник XYZ
прямоугольный и равнобедренный. Следовательно,
S_{\triangle XYZ}=\frac{1}{2}\left(XY\cdot\frac{XY}{\sqrt{2}}\right)=\frac{XY^{2}}{4}=\frac{6^{2}}{4}=9.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 10.3.1, 10 класс