18238. Две равные окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
проходят через точку A
. На окружности \omega_{1}
отмечена точка B
, для которой прямая AB
касается окружности \omega_{2}
. На окружности \omega_{2}
отмечена точка C
, для которой прямая AC
касается окружности \omega_{1}
. Прямая, проходящая через точку A
, повторно пересекает окружность \omega_{1}
в точке X
, а окружность \omega_{2}
— в точке Y
. Докажите, что один из отрезков BX
, CY
и XY
равен сумме двух других.
Решение. Поскольку окружности равны, то при симметрии относительно прямой l
, переводящей одну из них в другую, касательная AB
переходит в касательную AC
. Значит, AB=AC
Предположим, что точка A
лежит на отрезке XY
, т. е. прямая l
не проходит между сторонами угла BAC
. Поскольку прямая AB
касается окружности \omega_{1}
, то (см. задачу 87) \angle ABX=\angle CAY
. Аналогично, \angle BAX=\angle ACY
. Значит, треугольники ABX
и CAY
равны по стороне (AB=AC
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому BX=AY
и AX=CY
. В этом случае
XY=AX+AY=BX+CY.
Пусть точка Y
лежит на отрезке AX
. Снова, используя касание, получаем равенства \angle ABX=\angle YAC
и \angle BAX=\angle YCA
, поэтому также равны треугольники ABX
и CAY
. На этот раз
XY=AX-AY=CY-BX~\Rightarrow~CY=BX+XY.
Что и требовалось доказать.
Случай, когда точка X
лежит на отрезке AY
разбирается аналогично.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, региональный этап, первый день, задача 11.2, 11 класс