18240. На координатной плоскости проведена прямая ax+by+c=0
, где a
, b
, c
— некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности x^{2}+y^{2}=1
. Докажите, что из отрезков, равных a
, b
и c
, можно сложить прямоугольный треугольник.
Решение. Первый способ. Достаточно доказать, что c^{2}=a^{2}+b^{2}
. Поскольку прямая и окружность имеют единственную общую точку, система уравнений
\syst{ax+by+c=0\\x^{2}+y^{2}=1\\}
имеет единственное решение. Выразим by=-ax-c
и подставим в уравнение окружности. Получим
x^{2}+y^{2}=1~\Leftrightarrow~b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=b^{2}~\Leftrightarrow~b^{2}x^{2}+(ax+c)^{2}-b^{2}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}+b^{2})x^{2}+2acx+(c^{2}-b^{2})=0
Это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, значит, дискриминант должен обращаться в 0, т. е.
\frac{D}{4}=(ac)^{2}-(a^{2}+b^{2})(c^{2}-b^{2})=0~\Leftrightarrow~b^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0.
Тогда a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Отсюда следует утверждение задачи (см. задачу 1972).
Второй способ. Прямая касается окружности x^{2}+y^{2}=1
, если расстояние от центра (0;0)
до этой прямой равно 1. По формуле расстояния от точки до прямой получаем (см. задачу 4240), что
1=\frac{|a\cdot0+b\cdot0+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
откуда
\sqrt{a^{2}+b^{2}}=|c|~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}=c^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи (см. задачу 1972).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, региональный этап, второй день, задача 10.7, 10 класс