18241. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Биссектрисы его углов при вершинах A
и C
пересекаются в точке E
, а биссектрисы углов при вершинах B
и D
— в точке F
, причём точки O
, E
и F
лежат внутри четырёхугольника. Описанные окружности треугольников ACE
и BDF
пересекаются в точках P
и Q
. Докажите, что точки O
, P
и Q
лежат на одной прямой.
Указание. Докажите, что что точка O
лежит на радикальной оси PQ
описанных окружностей треугольников треугольников ACE
и BDF
.
Решение. Можно считать, что точки E
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
. Пусть \angle BAD=2\alpha
и \angle BOC=2\beta
Вписанный угол CAB
равен половине центрального угла BOC
, т. е. \beta
. Значит,
\angle EAC=\angle EAB-\angle CAB=\alpha-\beta.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому
\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-2\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BCE=\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)=90^{\circ}-\alpha.
Из равнобедренного треугольника BOC
находим \angle BCO=90^{\circ}-\beta
, поэтому
\angle ECO=\angle BCO-\angle BCE=\alpha.
Значит, \angle EAC=\angle ECO
, т. е. (см. задачу 144) прямая OC
касается описанной окружности треугольника ACE
. Аналогично, прямая OB
касается описанной окружности треугольника BDF
.
Таким образом, степени точки O
относительно этих окружностей равны OC^{2}
и OB^{2}
соответственно, а так как OC=OB
как радиусы одной окружности, то точка O
лежит на их радикальной оси, т. е. на прямой PQ
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, региональный этап, второй день, задача 11.8, 11 класс