18242. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Точки D
, E
и F
лежат на отрезках BC
, CA
и AB
соответственно, причём DE\perp CO
и DF\perp BO
. Точка K
— центр описанной окружности треугольника AFE
. Докажите, что DK\perp BC
.
Решение. Пусть l_{C}
— касательная к описанной окружности треугольника ABC
, проходящая через точку C
. Отметим на ней точку G
, лежащую с точкой A
по разные стороны от прямой BC
. Поскольку CO\perp l_{C}
и CG\perp DE
, прямые l_{C}
и DE
параллельны. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle CDE=\angle BCG=\angle BAC=\alpha.
Значит, четырёхугольник BEDA
вписанный. Аналогично, четырёхугольник CDFA
тоже вписанный. Тогда \angle CDE=\angle BAC=\alpha
, поэтому прямая BC
содержит биссектрису внешнего угла при вершине D
треугольника EDF
. В то же время, \angle EDF=180^{\circ}-2\alpha
, а так как K
— центр описанной окружности треугольника AEF
, то \angle FKE=2\angle FAE=2\alpha
. Значит,
\angle FKE+\angle EDF=2\alpha+(180^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}.
Таким образом, точка D
лежит на описанной окружности треугольника DEF
, а так как KE=KF
, то DK
— биссектриса вписанного в эту окружность угла EDF
. Известно (см. задачу 937), что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Следовательно, DK\perp BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2012, первый день, задача 1