18255. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и CD
неравнобедренного остроугольного треугольника ABC
, причём BD=CE
. Около треугольников ABE
и ACD
описаны окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Докажите, что описанный окружности треугольников ABC
, ADE
и AO_{1}O_{2}
имеют общую точку, отличную от A
,
Решение. Пусть Z
— середина большей дуги BC
описанной окружности \omega
треугольника ABC
. Треугольники ZDB
и ZEC
равны по двум сторонам и углу между ними (BD=CE
, ZB=ZC
, \angle ZBD=\angle ZCE
), поэтому
\angle ZDA=180^{\circ}-\angle ZDB=180^{\circ}-\angle ZEC=\angle ZEA.
Значит, четырёхугольник ADEZ
вписанный (см. задачу 12). Значит, точка Z
лежит на описанной окружности треугольника ADE
. Таким образом, остаётся доказать, что четырёхугольник AO_{1}O_{2}Z
вписанный (тогда точка Z
, отличная от A
, будет лежать на каждой из описанных окружностей треугольников ABC
, ADE
и AO_{1}O_{2}
).
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда точки O
и O_{1}
на серединном перпендикуляре к общей стороне AB
треугольников ABC
и ABE
, а O
и O_{2}
— на серединном перпендикуляре к общей стороне AC
треугольников ABC
и ACD
. Значит, прямые OO_{1}
и OO_{2}
проходят через середины сторон AB
и AC
соответственно. Тогда проекция отрезка OO_{1}
на прямую AC
равна
\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}(AC-AE)=\frac{1}{2}CE.
Аналогично, проекция отрезка OO_{2}
на прямую AB
равна \frac{1}{2}BD
, а так как по условию CE=BD
, то обе эти проекции равны. При этом, угол между прямыми OO_{1}
и AC
равен углу между прямыми OO_{1}
и AB
. Следовательно, OO_{1}=OO_{2}
, т. е. треугольник O_{1}OO_{2}
равнобедренный.
Поскольку
\angle AOO_{1}=\frac{1}{2}\angle AOB=\angle ACB=\angle O_{2}OZ
(так как ACB
и O_{2}OZ
углы с соответственно перпендикулярными сторонами), а так как при этом AO=ZO
и OO_{1}=OO_{2}
, то четырёхугольник AO_{1}O_{2}Z
— равнобедренная трапеция. Значит, около неё можно описать окружность. Следовательно, точка Z
лежит и на описанной окружности треугольника AO_{1}O_{2}
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача 2