18258. Дана равнобедренная трапеция с основаниями AB\gt CD
. В треугольники ADC
и ABC
вписаны окружности, касающиеся диагонали AC
в точках F
и E
соответственно. Известно, что высота трапеции равна 12, площадь равна 276, а периметр равен 72. Найдите EF
.
Ответ. 10.
Указание. См. задачу 219.
Решение. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, поэтому
AB+CD=\frac{2S_{ABCDE}}{12}=\frac{2\cdot276}{12}=46.
Тогда
AD=BC=\frac{1}{2}(P_{ABCD}-(AB+CD))=\frac{1}{2}(72-46)=13.
Далее находим (см. задачу 219)
AF=\frac{1}{2}(AD+AC-CD)~\mbox{и}~AE=\frac{1}{2}(AC+AB-BC).
Следовательно,
EF=AE-AF=\frac{1}{2}(AC+AB-BC)-\frac{1}{2}(AD+AC-CD)=
=\frac{1}{2}((AB+CD)-(AD+BC))=\frac{1}{2}(46-2\cdot13)=10.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача WE15, с. 9