18269. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
проведена высота AH
. Докажите, что медиана AM
разбивает треугольник ABC
на два треугольника, один из которых равносторонний.
Решение. Поскольку \angle AMB
, а медиана AM
равна половине гипотенузы BC
(см. задачу 1109), то треугольники AMB
и AMC
равнобедренный, а так как AMB
— внешний угол треугольника AMC
, то
\angle ACB=\angle ACM=\angle CAM=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAH=90^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BAM=60^{\circ}.
Следовательно, равнобедренный треугольник AMB
— равносторонний. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2018, задача WE9, с. 4