18273. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Точка N
— середина дуги BAC
описанной окружности, а K
— точка пересечения CN
и AB
. На продолжении отрезка AK
за точку K
отмечена точка T
, для которой TK=KA
. Докажите, что окружность с центром T
и радиусом TK
касается прямой BC
.
Решение. Пусть D
и E
— проекции точки T
на прямые BC
и AQC
соответственно. Достаточно доказать, что TD=TK
.
Поскольку EK
— медиана прямоугольного треугольника AET
, проведённая из вершины прямого угла, то KE=TK=KA
(см. задачу 1109). Три угла четырёхугольника TDCE
равны по 90^{\circ}
, значит, это прямоугольник, поэтому TD=CE
. Тогда осталось доказать, что CE=EK
.
Пусть \angle BAC=\angle BNC=2\alpha
. Из равнобедренного треугольника BNC
получаем
\angle BCN=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle ACK=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CKE=\angle AEK-\angle ECK=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle KCE.
Следовательно, CE=EK
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Сидоренко М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 3, 8 класс, с. 2