18274. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
и CF
, а H
— точка их пересечения. На лучах AD
, BE
и CF
отмечены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, причём AA_{1}=HD
, BB_{1}=HE
и CC_{1}=HF
соответственно. На продолжениях высот AD
, BE
и CF
отложены отрезки DH_{1}=HD
, EH_{2}=HE
и FH_{3}=HF
.
Тогда точки H_{1}
, H_{2}
и H_{3}
Точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков AH_{1}
, BH_{2}
и CH_{3}
соответственно. Докажите, что точки H
, A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Заметим, что точки H_{1}
, H_{2}
и H_{3}
лежат на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785).
Серединный перпендикуляр к отрезку AH_{1}
проходит через точку O
. Аналогично для серединных перпендикуляров к отрезкам BH_{2}
и CH_{3}
. Из точек A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
отрезок HO
виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром HO
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Баркулов М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 4, 8 класс, с. 2