18277. Высоты BD
и CE
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точка F
лежит на стороне AC
, причём FH\perp CE
. Отрезок FE
пересекает описанную окружность треугольника CDE
в точке K
. Докажите, что HK\perp EF
.
Решение. Точки D
, E
и K
лежат на окружности с диаметром BC
, поэтому четырёхугольник CDKE
вписанный. Тогда
\angle HDK=\angle BDK=180^{\circ}-\angle BEK=\angle AEK.
Прямые FH
и AB
, перпендикулярные одной и той же прямой CE
, параллельны, поэтому
\angle EFH=\angle AEK=\angle HDK.
Значит, четырёхугольник DFKH
вписан в окружность (см. задачу 12), а так как \angle FDH=90^{\circ}
, то FH
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle FKH=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 1, 9 класс, с. 5