18278. Дан треугольник ABC
. Из точки B
, лежащей вне окружности с диаметром AC
, проведены лучи, касающиеся окружности в точках C
и D
, а E
— отличная от C
точка пересечения прямой CD
с описанной окружностью треугольника ABC
. Докажите, что CD=2DE
.
Указание. Пусть O
— середина отрезка AC
, а F
— точка пересечения BO
и CD
. Докажите, что BO
и BD
— соответствующие медианы подобных прямоугольных треугольников ACB
и EFB
.
Решение. Пусть O
— середина отрезка AC
, а F
— точка пересечения BO
и CD
. Тогда BO
— биссектриса и медиана равнобедренного треугольника CBD
(см. задачу 1724), поэтому а так как
\angle FEB=\angle CEB=\angle CAB.
Значит, прямоугольные треугольники ACB
и EFB
подобны по двум углам, а так как BO
— медиана треугольника ACB
и \angle OBC=\angle DBF
, то BD
— медиана треугольника EFB
. Тогда CF=FD=DE
, следовательно, CD=2DE
Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 2, 9 класс, с. 5