18280. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BE
и CF
, пересекающиеся в точке H
. Точка M
— середина стороны BC
, серединный перпендикуляр к стороне BC
пересекает BE
и CF
в точках K
и L
соответственно, а Q
— ортоцентр треугольника KLH
. Докажите, что точка Q
лежит на медиане AM
.
Решение. Треугольники ABC
и HLK
подобны, поскольку их соответственные стороны перпендикулярны, и поэтому, соответственные углы равны.
Пусть AD
и HP
— соответственные высоты этих треугольников, а Q'
— точка пересечения медианы AM
с отрезком HP
. Для доказательства утверждения задачи достаточно доказать, что точки Q'
совпадает с Q
, а это равносильно равенству отношений \frac{HQ'}{Q'P}=\frac{AH}{HQ}
(см. задачу 2602), или равенству отношений \frac{HQ'}{Q'P}=\frac{AH}{HD}
. Поскольку прямоугольные треугольники AQ'H
и MQ'P
подобны, то \frac{HQ'}{Q'P}=\frac{AH}{MP}
, а так как MP=HD
(MPHD
— прямоугольник), то \frac{HQ'}{Q'P}=\frac{AH}{HD}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Желябовский Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 4, 9 класс, с. 6