18281. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
, касающаяся стороны BC
в точке K
. Точки X
и Y
на отрезках BI
и CI
соответственно, причём KX\perp AB
и KY\perp AC
. Описанная окружность треугольника XYK
вторично пересекает BC
в точке D
, отличной от K
. Докажите, что AD\perp BC
.
Указание. Докажите, что точка D
совпадает основанием высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
.
Решение. Докажем, что точка D
совпадает с основанием H
высоты AH
треугольника ABC
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Пусть прямые KX
и KY
пересекают стороны AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Поскольку BI
— биссектриса угла ABC
, прямоугольные треугольники BEX
и BKI
подобны по двум углам. Значит,
\frac{BX}{BI}=\frac{BE}{BK}=\cos\beta=\frac{BH}{BA}~\Rightarrow~\frac{BX}{BH}=\frac{BI}{BK},
поэтому прямоугольные треугольники тоже подобны. Тогда \angle BHX=\angle BAI=\frac{\alpha}{2}
. Аналогично, \angle CHY=\frac{\alpha}{2}
. Следовательно,
\angle BXH=180^{\circ}-\angle BHX-\angle CHY=180^{\circ}-2\cdot\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}-\alpha.
В то же время, из вписанности четырёхугольника AEKF
получаем, что
\angle XKY=\angle EKF=180^{\circ}-\angle EAF=180^{\circ}-\alpha=\angle XHY.
поэтому точки X
, Y
, K
и H
лежат на одной окружности (см. задачу 12) — на описанной окружности треугольника XYK
. Следовательно, точки D
и H
совпадают. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 5, 9 класс, с. 7