18282. Около остроугольного треугольника ABC
описаны равносторонние треугольники KLM
и PQR
, как показано на рисунке. Прямые PK
и QL
пересекаются в точке D
. Докажите, что \angle ABC+\angle PDQ=120^{\circ}
.
Решение. Из точек P
и K
, лежащих по одну сторону от прямой AB
, отрезок AB
виден под углом 60^{\circ}
, поэтому четырёхугольник APKB
вписанный (см. задачу 12). Аналогично докажем, что четырёхугольник BQLC
тоже вписанный. Пусть описанные окружности четырёхугольников APKB
и BQLC
вторично пересекаются в точке O
, отличной от B
. Тогда \angle AOB=120^{\circ}
. Докажем, что четырёхугольник PDQO
вписанный.
Действительно, пусть \angle POA=\angle PKA=\alpha
и \angle BOQ=\angle BLQ=\beta
. Тогда
\angle POQ=\angle AOB-\angle POA+\angle BOQ=120^{\circ}-\alpha+\beta,
\angle PDQ=\angle PKL-\angle KLQ=(60^{\circ}+\alpha)-\beta,
так как PKL
— внешний угол треугольника DKL
, откуда
\angle POQ+\angle PDQ=(120^{\circ}-\alpha+\beta)+(60^{\circ}+\alpha-\beta)=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник PDQO
вписанный.
Следовательно,
\angle ABC+\angle PDQ=(\angle ABO+\angle OBC)+(\angle PDO+\angle ODQ)=
=\angle APO+\angle OQC+\angle PQO+\angle OPQ=
=(\angle APO+\angle OPQ)+(\angle PQO+\angle OQC)=
=\angle APQ+\angle PQC=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Билецкий Ю. А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 6, 9 класс, с. 7