18287. В треугольнике ABC
угол при вершине B
вдвое больше угла при вершине C
, AD
— высота, M
— середина стороны BC
. Докажите, что AB=2DM
.
Решение. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
. Тогда точка D
лежит на отрезке BC
.
Пусть N
— середина стороны AC
. Проведём отрезки MN
и DN
. Поскольку MN
— средняя линия треугольника ABC
, то AB=2MN
, поэтому достаточно доказать, что DM=MN
.
Обозначим \angle ACB=\gamma
. Поскольку DN
— медиана прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 1109)
DN=AN=NC~\mbox{и}~\angle NDC=\angle ACB=\gamma,
а так как MN\parallel AB
, то \angle CMN=\angle ABC=2\gamma
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DNM=2\gamma-\gamma=\gamma=\angle MDN,
поэтому треугольник DMN
равнобедренный. Следовательно, DM=MN
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Аналогично для случая, когда угол ABC
тупой или прямой.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 2, 8-9 классы, с. 1