18288. Постройте треугольник ABC
по данным высоте и биссектрисе треугольника, проведённым из вершины A
, если известно, что 2BC=AB+AC
.
Решение. Построим треугольник ATH
с катетом, равным данной высоте и гипотенузой, равной данной биссектрисе AH
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) получаем
\frac{BT}{TC}=\frac{AB}{AC}~\Rightarrow~BT=BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}~\Rightarrow~\frac{AI}{IT}=\frac{AB}{BT}=
=\frac{AB}{BC\cdot\frac{AB}{AB+AC}}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2.
Теперь можно построить точку I
. Опустим из неё перпендикуляр IM
на прямую TH
. Тогда IM
— радиус вписанной окружности искомого треугольника ABC
. Построим эту окружность и проведём к ней касательные из точки A
. Они пересекут прямую TH
в искомых точках B
и C
.
Автор: Карлюченко А. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 3, 8-9 классы, с. 1