18293. Точка O
— центр описанной окружности \omega
равнобедренного треугольника ABC
(AB=AC
). Биссектриса угла при вершине C
пересекает \omega
в точке W
. Точка Q
— центр описанной окружности треугольника OWB
. Восстановите треугольник ABC
по точкам точкам Q
, W
и B
.
Решение. Строим окружность с центром Q
радиуса QB=QW
. Серединный перпендикуляр к отрезку WB
пересекает эту окружность в точке O
. Далее проводим окружность \omega
с центром O
и радиусом OB
, а затем — окружность с центром W
и радиусом WB
. Отличная от B
точка пересечения этой окружности с окружностью \omega
есть вершина A
искомого треугольника (WA=WB
, так как W
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
, см. задачу 430).
Далее опускаем перпендикуляр AM
на прямую AO
, а затем на продолжении отрезка BM
за точку M
откладываем отрезок, равный BM
. Отличный от M
конец отложенного отрезка есть третья вершина C
искомого треугольника ABC
.
Автор: Мостовой А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 3, 10-11 классы, с. 5