18294. Вписанная окружности треугольника ABC
касается его сторон AB
, BC
и CA
в точках K
, N
и M
соответственно. Известно, что \angle ANM=\angle CKM
. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Пусть прямые AN
и CK
вторично пересекают вписанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
соответственно. Тогда по теореме о вписанных углах и теореме об угле между касательной и хордой
\angle PNM=\angle PQM=\angle PMA~\mbox{и}~\angle QKM=\angle QPM=\angle QMC.
Из условия задачи следует, что \angle PNM=\angle QKM
поэтому PQ\parallel AC
. Тогда
\angle CAN=\angle QPN=\angle QKN=\angle CKN.
Значит (см. задачу 12), четырёхугольник AKNC
вписанный, поэтому
\angle CAK=180^{\circ}-\angle CNK=\angle BNK~\mbox{и}~\angle ACN=180^{\circ}-\angle AKN=\angle BKN.
Поскольку BK=BN
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), треугольник KBN
равнобедренный. Тогда
\angle BNK=\angle BKN~\Rightarrow~\angle CAK=\angle ACN.
Значит, \angle CAB=\angle ACB
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Автор: Ясинский В. А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2018, II, задача 5, 10-11 классы, с. 7