18303. Дан прямоугольный треугольник ABC
, точка M
— середина гипотенузы AB
. Около треугольника BCM
описана окружность, которая пересекает отрезок AC
в точке Q
, отличной от C
. Оказалось, что отрезок QA
вдвое больше катета BC
. Найдите острые углы треугольника ABC
.
Ответ. 15^{\circ}
и 75^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=x
. Тогда QA=2x
. Рассмотрим вписанный четырёхугольник BCQM
. Поскольку угол BCQ
прямой, то BQ
— диаметр описанной окружности четырёхугольника BQCM
, поэтому угол BCQ
тоже прямой. Значит, прямая MQ
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, поэтому BQ=AQ=2x
.
В прямоугольном треугольнике BCQ
катет BC
вдвое меньше гипотенузы BQ
. Значит,
\angle BQC=30^{\circ}~\Rightarrow~\angle BMC=\angle BQC=30^{\circ}.
Поскольку в прямоугольном треугольнике ABC
медиана, проведённая из вершины C
прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), то треугольники BMC
равнобедренные. В треугольника BMC
угол при вершине M
между равными сторонами MB
и MC
равен 30^{\circ}
, а так как BMC
— внешний угол при вершине M
равнобедренного треугольника AMC
, то
\angle CAB=\angle CAM=\frac{1}{2}\angle BMC=\frac{1}{2}\cdot30^{\circ}=15^{\circ},
а тогда \angle ABC=75^{\circ}
.
Автор: Мороз Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 1, 8-9 классы, с. 1