18305. Точка M
— середина боковой стороны CD
трапеции ABCD
, точка K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на сторону AB
. Известно, что 3BK\leqslant AK
. Докажите, что BC+AD\geqslant2BM
.
Решение. Проведём среднюю линию ME
трапеции. На стороне AB
отложим отрезок KL=BK
. Из равенства прямоугольных треугольников BKM
и LKM
(по двум катетам) следует, что BM=LM
.
В то же время
3BK\leqslant AK~\Rightarrow~4BK\leqslant AK+BK~\Rightarrow
\Rightarrow~2BK\leqslant\frac{AK+BK}{2}~\Rightarrow~2BK\leqslant BE=\frac{1}{2}AB=BE,
поэтому либо точка L
совпадает с точкой E
, либо лежит между K
и E
.
В первом случае
BM=LM=EM=\frac{BC+AD}{2}~\Rightarrow~BC+AD=2BM.
Во втором — угол ELM
треугольника ELM
тупой, как смежный с острым углом BLM
при основании BL
равнобедренного треугольника ELM
. Следовательно (см. задачу 3499),
BM=LM\lt EM=\frac{BC+AD}{2}=BC+AD\gt2BM~\Rightarrow~BC+AD\gt2BM.
Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 3, 8-9 классы, с. 2