18306. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты BB_{1}
и CC_{1}
. Точки E
и F
— основания перпендикуляров, опущенных из точки B_{1}
на стороны AB
и BC
соответственно, а точки K
и L
— основания перпендикуляров, опущенных из точки C_{1}
на стороны AC
и BC
соответственно. Оказалось, что прямые EF
и KL
перпендикулярны. Найдите угол BAC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Из точек B_{1}
и C_{1}
отрезок BC
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности \omega
с диаметром BC
. Поскольку C_{1}K\perp CB_{1}
и C_{1}L\perp BC
, прямая KL
— это прямая Симсона треугольника BCC_{1}
и точки C_{1}
, лежащей на описанной окружности \omega
треугольника CBB_{1}
(см. задачу 83).
Пусть S
— точка пересечения прямых KL
и BB_{1}
, а T
— точка пересечения прямых EF
и CC_{1}
. Тогда C_{1}S\perp BB_{1}
. Аналогично, B_{1}T\perp CC_{1}
.
Точки B_{1}
, K
, E
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром B_{1}C_{1}
. Поскольку по условию \angle EPS=90^{\circ}
, а вписанный в эту окружность угол EB_{1}S
вдвое меньше соответствующего центрального угла EPS
, где P
— точка пересечения диагоналей прямоугольника EC_{1}TB_{1}
и прямоугольника KB_{1}SC_{1}
(т. е. общая середина равных отрезков ET
и KS
), то
\angle EB_{1}S=\frac{1}{2}\angle EPS=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно, учитывая параллельность C_{1}S
и AC
, а также вписанность четырёхугольника EB_{1}SC_{1}
, получаем
\angle BAC=\angle BC_{1}S=\angle EB_{1}S=45^{\circ}.
Автор: Дзюняк А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 4, 8-9 классы, с. 2