18308. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AL
. Касательная в точке B
к описанной окружности \omega_{1}
треугольника ABL
пересекает продолжение биссектрисы AL
в точке K
. Описанная окружность \omega_{2}
треугольника CKL
пересекает AC
в точке Q
, отличной от C
, причём Q
лежит на стороне AC
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Обозначим через \alpha
и \beta
углы при вершинах соответственно A
и B
треугольника ABC
. Из вписанного четырёхугольника CQLK
получаем, что
\angle AQL=180^{\circ}-\angle ABL=180^{\circ}-\beta.\eqno(1)
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle CBK=\angle LBK=\angle BAL=\angle CAL=\frac{\alpha}{2}.
Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой CK
, отрезок CK
виден под одним и тем же углом \frac{\alpha}{2}
, поэтому точки A
, B
, K
и C
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Значит, \angle ABC=\angle AKC
как вписанные в эту окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Из вписанного четырёхугольника CKLQ
получаем
\angle AQL=180^{\circ}-\angle CQL=\angle CKL=\angle CKA=\angle ABC=\beta.
Значит, учитывая (1), получаем
180^{\circ}-\beta=\beta~\Rightarrow~\angle ABC=\beta=90^{\circ}.
Автор: Радомский В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2020, IV, задача 5, 8-9 классы, с. 3