18315. Докажите, что в треугольнике ABC
основание высоты AH
, точка касания вписанной окружности со стороной BC
и проекции точки A
на биссектрисы углов при вершинах B
и C
треугольника лежат на одной окружности.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, точки D
и E
— проекции точки A
на биссектрисы углов ACB
и ABC
соответственно, F
— проекция точки I
на сторону BC
, а лучи AD
и AE
пересекают прямую BC
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно.
Поскольку CD
— биссектриса и высота треугольника AB_{1}C
, этот треугольник равнобедренный, AC=B_{1}C
. Тогда CD
— его медиана, т. е. D
— середина AB_{1}
. Аналогично, E
— середина AC_{1}
. Таким образом, I
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника AB_{1}C_{1}
, т. е. центр описанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
, а тогда F
— середина B_{1}C_{1}
. Следовательно, точки D
, E
, H
и F
лежат на окружности девяти точек треугольника AB_{1}C_{1}
(см. задачу 174). Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 3, 8-9 классы, с. 2