18319. Пусть BF
и CN
— высоты остроугольного треугольника ABC
. Биссектрисы углов ACN
и ABF
пересекаются в точке T
. Найдите радиус описанной окружности треугольника FTN
, если BC=a
.
Ответ. \frac{a}{2}
.
Решение. Из точек F
и N
отрезок BC
виден под прямым углом, значит точки B
, N
, F
и C
лежат на окружности с диаметром BC
и центром O
— середине стороны BC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
,
Покажем, что точка T
тоже лежит на этой окружности. Действительно,
\angle ACN=\angle ABF=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow~\angle TCN=\angle TBN
как половины равных углов. Значит (см. задачу 12), точки B
, N
, T
и C
лежат на одной окружности, поэтому все пять точек B
, N
, T
, F
и C
лежат на окружности с диаметром BC=a
. Следовательно, радиус описанной окружности треугольника FTN
, равен
R=OF=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 1, 10-11 классы, с. 6