18320. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором углы при вершинах A
и C
равны 90^{\circ}
и 45^{\circ}
соответственно. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке F
, причём BC=CF
, а диагональ AC
— биссектриса угла при вершине A
. Найдите два других угла четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 105^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Решение. Из условия следует, что \angle CBF=\angle BFC=\angle AFD
. Тогда из треугольников AFD
и CBD
получаем \angle ADF=\angle BDC
, так как \angle FAD=\angle BCD=45^{\circ}
. Значит, DB
— биссектриса угла ADC
.
Проведём высоту BK
треугольника BCD
. Прямоугольные треугольники ADB
и KDB
равны по общей гипотенузе BD
и острому углу. Обозначим AD=a
, AB=b
. Тогда DK=a
, BK=b
. Треугольник BKC
прямоугольный и равнобедренный, поэтому CK=BK=b
и CD=a+b
.
Проведём высоту CN
равнобедренного треугольника BCD
. Прямоугольные треугольники CND
и BAD
подобны, поэтому
\frac{CD}{BD}=\frac{DN}{AD}~\Leftrightarrow~\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{DN}{a}~\Leftrightarrow~DN=\frac{a(a+b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
С другой стороны, DN=FD+\frac{1}{2}BF
. По свойству биссектрисы (см. задачу 1509) из треугольника ABD
находим
FD=BD\cdot\frac{DF}{DB}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}.
Аналогично,
BF=\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}.
Тогда
DN=DN=FD+\frac{1}{2}BF=\frac{a\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}+\frac{1}{2}\cdot\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b},~\mbox{или}
\frac{a(a+b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2a\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2(a+b)}~\Leftrightarrow~2a(a+b)^{2}=(a^{2}+b^{2})(2a+b)~\Leftrightarrow~3a^{2}=b^{2}.
Значит,
BD=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{4a^{2}}=2a=2AD,
поэтому \angle ABD=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=2\angle ADB=120^{\circ},~\angle ABC=360^{\circ}-(120^{\circ}+90^{\circ}+30^{\circ}=105^{\circ}.
Автор: Рожкова М. Н.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 2, 10-11 классы, с. 6