18321. В треугольнике ABC
проведены высоты h_{a}
, h_{b}
h_{c}
; p
— полупериметр треугольника. Сравните p^{2}
и h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a}
.
Ответ. p^{2}\geqslant h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a}
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
. Сравним p^{2}r
и (h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a})r
.
Поскольку (см. задачу 3239)
\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}~\Leftrightarrow~\frac{h_{b}h_{c}+h_{a}h_{c}+h_{a}h_{b}}{h_{a}h_{b}h_{c}}~\Leftrightarrow~r=\frac{h_{a}h_{b}h_{c}}{h_{b}h_{c}+h_{a}h_{c}+h_{a}h_{b}}.
Значит, достаточно сравнить p^{2}r
и h_{a}h_{b}h_{c}
.
Пусть S
— площадь треугольника, R
— радиус его описанной окружности. Используя известные формулы
S=pr,~S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}c_{c},~S=\frac{abc}{4R},
получим, что сравнить нужно разность pS-\frac{2S}{a}\cdot\frac{2S}{b}\cdot\frac{2S}{c}
с 0.
Поскольку
pS-\frac{8S^{3}}{4RS}=S\left(p-\frac{2S}{R}\right)=\frac{S(pR-2S)}{R}=\frac{S(pR-2pr)}{R}=
=\frac{pS}{r}\cdot(R-2r)\geqslant0~\Leftrightarrow~R-2r\geqslant0,
а последнее неравенство верно (см. задачу 3587), то
p^{2}\geqslant h_{a}h_{b}+h_{b}h_{c}+h_{c}h_{a}.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2021, V, задача 3, 10-11 классы, с. 7