18325. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена произвольная точка X
. Треугольник T
образован пересечением биссектрис углов ABC
, ACB
и AXC
. Докажите, что описанная окружность треугольника T
проходит через вершину A
.
Решение. Пусть биссектрисы углов ABC
и ACB
пересекаются в точке I
, биссектрисы углов ACB
и AXC
— в точке F
, а биссектрисы углов ABC
и AXC
— в точке K
.
Поскольку F
— точка пересечения биссектрис треугольника AXC
, то AF
— третья биссектриса этого треугольника. Пусть \angle CAF=\angle FAX=\alpha
. Тогда
\angle FAI=\angle CAI-\angle CAF=\frac{1}{2}\angle A-\alpha
В то же время (см. задачу 4770),
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle FIK=180^{\circ}=180^{\circ}-\angle BIF=180^{\circ}-\angle BIC=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A,
\angle CFX=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle CAX=90^{\circ}+\alpha.
Тогда из треугольника FKI
находим, что
\angle FKI=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A\right)-(90^{\circ}+\alpha)=\frac{1}{2}\angle A-\alpha=\angle FAI.
Следовательно (см. задачу 12), точки A
, I
, F
и K
лежат на одной окружности, т. е. описанная окружность треугольника T
, проходит через вершину A
. Что и требовалось доказать.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2022, VI, задача 4, 8-9 классы, с. 4