18332. На стороне
AB
равнобедренной трапеции
ABCD
(
AD\parallel BC
), отмечены точки
E
и
F
, для которых четырёхугольник
CDEF
описанный. Докажите, что описанные окружности треугольников
ADE
и
BCF
касаются друг друга.
Решение. Пусть окружность
\omega
с центром
O
вписана в четырёхугольник
CDEF
, а окружности
\omega_{1}
и
\omega_{2}
с центрами соответственно
O_{1}
и
O_{2}
описаны около треугольников
ADE
и
BCF
соответственно. Пусть
S
— точка пересечения прямых
AB
и
CD
.
Точка
O
лежит на биссектрисе угла
ASD
(см. задачу 1724), которая, в свою очередь, лежит на общем серединном серединном перпендикуляре к основаниям
BC
и
AD
равнобедренной трапеции
ABC
. Тогда на этом серединном перпендикуляре лежат центры
O_{1}
и
O_{2}
описанных окружностей треугольников
ADE
и
BCF
. Поскольку центры этих окружностей лежат на прямой
SO
, проходящей через точку
O
, то осталось доказать, что точка
O
лежит на каждой из окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
. Тогда
O
будет точкой касания этих окружностей.
Обозначим
\angle ASD=\alpha
. Тогда
\angle SAD=\angle SBC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

Точка
O
— центр вписанной окружности треугольника
ESD
и одновременно центр вневписанной окружности треугольника
FSC
, то (см. задачу 4770)
\angle DOE=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle DSE=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}~\mbox{и}~\angle COF=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle COF=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.

Кроме того
\angle FBC=180^{\circ}-\angle SBC=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},

поэтому
\angle COF+\angle FBC=\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.

Значит, четырёхугольник
BCOF
вписанный, поэтому точка
O
лежит на описанной окружности
\omega_{2}
треугольника
BCF
.
В то же время,
\angle EOD+\angle EAD=\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.

Значит, четырёхугольник
ADOE
вписанный, поэтому точка
O
лежит на описанной окружности
\omega_{1}
треугольника
ADE
. Таким образом, точка
O
лежит на каждой из окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
. Отсюда следует утверждение задачи
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 4, 8 класс, с. 3