18334. Внутри треугольника ABC
отмечена точка D
, для которой \angle ADB=\angle ADC
. Лучи BD
и CD
пересекают описанную окружности треугольника ABC
в точках E
и F
, соответственно. На отрезке EF
отмечены точки K
и L
, причём \angle AKD=180^{\circ}-\angle ACB
и \angle ALD=180^{\circ}-\angle ABC
, а отрезки EL
и FK
не пересекают прямую AD
. Докажите, что AK=AL
.
Решение. Поскольку
\angle AED=\angle AEB=\angle ACB=180^{\circ}-\angle AKD,
а точки K
и L
лежат по разные стороны от прямой AD
, то четырёхугольник AKDE
вписанный (см. задачу 12). Аналогично, четырёхугольник ALDF
тоже вписанный. Значит,
\angle AKL=\angle ADE=\angle AKE=180^{\circ}-\angle ADB=180^{\circ}-\angle ADC=
=\angle ADF=\angle ALF=\angle ALK,
поэтому треугольник AKL
равнобедренный с основанием KL
. Следовательно, AK=AL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 1, 9 класс, с. 6