18335. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, а D
— произвольная точка на дуге BC
описанной окружности треугольника ABC
, лежащая с вершиной A
по разные стороны от прямой BC
. Точка N
— середина отрезка AD
. Окружность, проходящая через точки A
, N
и касающаяся прямой AB
, пересекает сторону AC
в точке E
. Докажите, что точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности.
Решение. Поскольку по теоремам о вписанных углах и об угле между касательной и хордой
\angle NAE=\angle DAC=\angle DBC~\mbox{и}~\angle NEA=\angle BAD=\angle BCD,
треугольники AEN
и BCD
подобны.
Пусть K
— середина отрезка AE
. Поскольку NK
и DM
— соответственные медианы подобных треугольников, получаем, что \angle NKE=\angle DMC
, а так как NK
— средняя линия треугольника DAE
, то NK\parallel DE
. Значит,
\angle DEC=\angle NKE=\angle DMC.
Следовательно (см. задачу 12), точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 2, 9 класс, с. 6