18339. Точки O
и H
— центр описанной окружности и ортоцентр остроугольного треугольника ABC
соответственно. На сторонах AC
и AB
отмечены точки D
и E
соответственно, причём отрезок DE
проходит через точку O
и DE\parallel BC
. На стороне BC
отмечены точки X
и Y
соответственно, причём BX=OD
и CY=OE
. Докажите, что \angle XHY+2\angle BAC=180^{\circ}
.
Решение. Докажем, что HY=CY
. Для этого опустим перпендикуляры OM
и YN
на AB
и CH
соответственно. Тогда OM\parallel CH
и PM=\frac{1}{2}CH
(см. задачу 1257). Прямоугольные треугольники OME
и CNY
равны по гипотенузе (OE=CY
по условию) и острому углу (\angle MOE=\angle NCY
как углы с соответственно сонаправленными сторонами). Тогда CN=OM=\frac{1}{2}CH
, т. е. N
— середина CH
. Тогда высота YN
треугольника CYH
является его медианой, значит, треугольник CYN
равнобедренный, HY=CY
.
Таким образом, учитывая, что HYX
— внешний угол равнобедренного треугольника CYH
, получаем
\angle HYX=2\angle HCB=2(90^{\circ}-\angle ABC)=180^{\circ}-2\angle ABC.
Аналогично, HX=XB
, поэтому \angle HXY=180^{\circ}-2\angle ACB
. Тогда
\angle XHY=180^{\circ}-\angle HYX-\angle HXY=
=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\angle ABC)-180^{\circ}-2\angle ACB=
=2\angle ABC+2\angle ACB-180^{\circ}=2(180^{\circ}-\angle BAC)-180^{\circ}=180^{\circ}-2\angle ABC.
Следовательно,
\angle XHY+2\angle BAC=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 2, 10-11 классы, с. 11