18340. Внутри треугольника ABC
отмечены точки D
и E
, для которых \angle ABD=\angle CBE
и \angle ACD=\angle BCE
. Точка F
отмечена на стороне AB
, причём DF\parallel AC
, а точка G
отмечена на стороне AC
, причём EG\parallel AB
. Докажите, что \angle BFG=\angle BDC
.
Решение. Пусть лучи CD
и BE
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
соответственно, а отрезок PQ
пересекает стороны AB
и BC
в точках F'
и G'
соответственно. Докажем, что точки F'
и G'
совпадают с F
и G
соответственно.
Поскольку
\angle DPF'=\angle CPQ=\angle CBQ=\angle DBF',
точки B
, P
, F'
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 12), поэтому
\angle BF'D=\angle BPD=\angle BPC=\angle BAC.
Значит, DF'\parallel AC
. Тогда точка F'
совпадает с F
. Аналогично докажем, что точка G'
совпадает с G
.
Тогда треугольники BFQ
и BDC
подобны, так как \angle FBQ=\angle DBC
и \angle FQB=\angle DCB
. Следовательно, \angle BFQ=\angle BDC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Тригуб А. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2024, VIII, задача 3, 10-11 классы, с. 12