18345. Около остроугольного треугольника ABC
описана окружность с центром O
. На сторонах AB
и AC
отмечены точки соответственно D
и E
, причём отрезок DE
проходит через точку O
. Пусть K
и L
— ортоцентры треугольников BOD
и COE
соответственно, а T
— точка пересечения прямых KD
и LE
. Докажите, что точки A
, K
, T
и L
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольник AOB
равнобедренный, поэтому \angle OAB=\angle OBD
, а так как OK\perp BD
и KD\perp BO
, то \angle OKD=\angle OBD
. Тогда
\angle OAD=\angle OBD=\angle OKD.
Значит (см. задачу 12), точки O
, A
, K
и D
лежат на одной окружности. Аналогично, точки O
, A
, L
и E
лежат на одной окружности. Тогда
\angle KAL=\angle KAO+\angle LAO=\angle TDO+\angle TEO=180^{\circ}-\angle DTE=180^{\circ}-\angle KTL.
Следовательно, четырёхугольник AKTL
вписанный. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 4, 8 класс, с. 2