18348. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BE
и CF
. На продолжении отрезка EF
за точку F
отложили отрезок FP=AB
, а на продолжении отрезка FE
за точку E
— отрезок CQ=AC
. Докажите, что \angle BPQ=\angle CQP
.
Решение. Отметим на прямой EF
точки K
и L
, для которых AK\parallel BP
и AL\parallel CQ
. Обозначим BC=a
, CQ=AC=b
и BP=AB=c
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{AF}{FB}=\frac{b}{a}
.
Треугольники PBF
и KAF
подобны, поэтому
\frac{AK}{BP}=\frac{AF}{BF}=\frac{b}{a}~\Rightarrow~AK=BP\cdot\frac{b}{a}=\frac{bc}{a}.
Аналогично, AL=\frac{bc}{a}=AK
, поэтому треугольник AKL
равнобедренный. Следовательно,
\angle BPQ=\angle AKL=\angle ALK=\angle CQP.
Что и требовалось доказать.
Автор: Жилинский Г.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2025, IX, задача 3, 9 класс, с. 4