18353. Дан прямоугольник ABCD
. Точка K
лежит на луче DC
, причём DK=DB
. Точка M
— середина отрезка BK
. Докажите, что AM
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Медиана DM
равнобедренного треугольника BDK
является высотой и биссектрисой. Точки A
, B
, C
и D
лежат на окружности с диаметром BD
, а так как \angle BMD=90^{\circ}
, то на этой же окружности лежит и точка M
. Тогда M
— середина меньшей дуги этой окружности (см. задачу 430). Следовательно, AM
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2012, задача 2, младшая лига, с. 10