18354. Точка D
лежит на высоте AA_{1}
остроугольного треугольника ABC
, причём \angle BDC=90^{\circ}
; точка H
— ортоцентр треугольника ABC
. Докажите, что касательная, проведённая из точки B
к окружности с диаметром AH
, равна отрезку BD
.
Решение. Пусть \omega
— окружность с диаметром AH
, L
— точка, в которой прямая, проведённая из вершины B
, касается \omega
, CC_{1}
— высота треугольника ABC
.
Поскольку \angle HC_{1}A=90^{\circ}
, точка C_{1}
лежит на \omega
. По теореме о касательной и секущей BL^{2}=BC_{1}\cdot BA
.
Прямоугольные треугольники BAA_{1}
и BCC_{1}
с общим острым углом при вершине B
подобны, поэтому
\frac{BA_{1}}{BD}=\frac{BD}{BC}~\Rightarrow~BA_{1}\cdot BC=BD^{2}
\frac{BA_{1}}{BC_{1}}=\frac{BA}{BC}~\Rightarrow~BC_{1}\cdot BA=BA_{1}\cdot BC
Значит,
BL^{2}=BC_{1}\cdot BA=BA_{1}\cdot BC=BD^{2}
(см. задачу 2728). Следовательно, BL=BD
. Что и требовалось доказать.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2015, задача 2, младшая лига, с. 7