18356. Окружность \omega
касается сторон AB
и BC
треугольника ABC
и пересекает сторону AC
в точке K
. Известно, что касательная к \omega
в точке K
симметрична прямой AC
относительно прямой BK
. Какой может быть разность AK-CK
, если AB=9
и BC=11
?
Ответ. 2.
Решение. Пусть P
— отличная от K
точка пересечения окружности \Omega
с прямой BK
, а O
— точка, в которой пересекаются касательные к \omega
в точках K
и P
. Тогда \angle KPO=\angle PKO
, так как треугольник KOP
равнобедренный. В то же время, \angle AKP=\angle PKO
, так как прямые KO
и AC
симметричны относительно прямой BK
. Значит, \angle KPO=\angle AKP
, поэтому прямые PO
и AC
параллельны.
При гомотетии с центром B
, переводящей прямую PO
в параллельную ей прямую AC
, окружность \omega
переходит во вневписанную окружность треугольника ABC
, а точка P
— в точку K
. Значит, K
— точка касания этой вневписанной окружности со стороной AC
.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда
AK=p-AB,~CK=p-BC
(см. задачу 1750). Следовательно,
AK-CK=(p-AB)-(p-BC)=BC-AB=11-9=2.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2019, задача 7, младшая лига, с. 5