18357. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AK
и BL
. На отрезке AK
отмечена точка P
, для которой LK=LP
. Прямая, проходящая через точку P
параллельно BC
, и прямая, проходящая через точку B
параллельно PL
, пересекаются в точке Q
. Докажите, что \angle AQB=\angle ACB
.
Решение. Пусть N
— точка пересечения прямых BC
и LP
, а M
— середина отрезка BQ
. В прямоугольном треугольнике NKP
катет KL
равен отрезку KL
, поэтому точка L
лежит на серединном перпендикуляре к катету KP
. Значит, L
— середина гипотенузы NP
, а KL
— медиана треугольника NKP
, проведённая из вершины прямого угла. Тогда NL=LP
. Тогда LM
— отрезок, соединяющий середины противоположных сторон NP
и BQ
параллелограмма NPQB
. Значит, LM\parallel PQ\parallel CB
.
Заметим, что точки A
, B
, K
и L
лежат на окружности с диаметром AB
(см. задачу 1689), а так как
LM\parallel BK~\mbox{и}~BM=\frac{1}{2}BQ=\frac{1}{2}NP=LP=KL,
то MBKL
— равнобедренная трапеция. Тогда AM\perp BQ
, поэтому медиана AM
треугольника ABQ
является его высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, \angle ABQ=\angle AQB
. Осталось доказать, что \angle ABQ=\angle ACB
.
Действительно, это равенство равносильно \angle CBQ=180^{\circ}-\angle CAB
, что равносильно верному равенству
\angle CBQ=180^{\circ}-\angle PNK=180^{\circ}-\angle CKL=180^{\circ}-\angle CAB.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2020, второй день, задача 6, младшая лига, с. 6