18358. Биссектриса угла B
параллелограмма ABCD
пересекает диагональ AC
в точке E
, а биссектриса внешнего угла при вершине B
пересекает прямую AD
в точке F
. точка M
— середина отрезка BE
. Докажите, что CM\parallel EF
.
Решение. Пусть G
— точка на продолжении стороны CB
за точку B
. Тогда
\angle ABF=\angle BFG=\angle AFB,
поэтому треугольник ABF
равнобедренный, AB=AF
. Пусть прямые FE
и BC
пересекаются в точке T
. Тогда треугольники FAE
и TCE
подобны, поэтому \frac{AF}{CT}=\frac{AE}{CE}
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC}~\Rightarrow~\frac{AF}{CT}=\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{BC}~\Rightarrow~BC=CT,
т. е. C
— середина BT
. Тогда CM
— средняя линия треугольника BET
. Следовательно, CM\parallel ET
, или CM\parallel EF
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2021, задача 2, младшая лига, с. 8