18360. Точка M
— середина стороны AB
равностороннего треугольника ABC
. Точка D
лежит на стороне BC
, причём BD:DC=3:1
. На прямой, проходящей через точку C
параллельно MD
, существует точка T
, лежащая внутри треугольника ABC
, для которой \angle CTA=150^{\circ}
. Найдите \angle MTD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть R
— середина стороны BC
. Вместо точки T
рассмотрим точку R'
, симметричную точке R
относительно прямой DM
. Докажем, что CR'\parallel DM
и \angle AR'C=150^{\circ}
, а также, что существует единственная точка в треугольнике ABC
, удовлетворяющая этим условиям. Отсюда будет следовать, что точка R'
совпадает с T
.
0. Найдём ответ задачи. Из равенств RB=MB=\frac{1}{2}AB
и \angle RBM=\angle CBA
следует, что треугольник RBM
равносторонний. Значит,
\angle MRB=60^{\circ}~\mbox{и}~\angle DRM=180^{\circ}-\angle MRB=120^{\circ}.
Тогда из симметрии \angle DR'M=\angle DRM=120^{\circ}
.
1. Докажем, что CR'\parallel DM
. Поскольку точки R
и R'
симметричны относительно прямой DM
, то DM\perp RR'
и R'D=RD
. Тогда медиана R'D
треугольника CRR'
равна половине его стороны CR
. Значит, \angle CR'R=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Тогда CR'\perp R'R\perp DM
.
2. Докажем, что \angle AR'C=150^{\circ}
. Из симметрии
MR'=MR=\frac{1}{2}AB=AM,
поэтому точки A
, R'
, R
и B
лежат на окружности с диаметром AB
. Значит,
\angle AR'R=180^{\circ}-\angle ABR=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
а так как выше получено, что \angle CR'R=90^{\circ}
, то
\angle AR'R+\angle RR'C+\angle AR'C=360^{\circ}~\Rightarrow~\angle AR'C=360^{\circ}-\angle ARR'-\angle RR'C=
=360^{\circ}-120^{\circ}-90^{\circ}=150^{\circ}.
3. Докажем, что точка R'
совпадает с T
. Предположим, это не так. Тогда прямая, проходящая через точку C
параллельно DM
содержит две различные точки, для которых \angle ATC=\angle AR'C=150^{\circ}
.
Пусть X
— одна из них, лежащая ближе к C
, а Y
— другая. Тогда AXC
— внешний угол треугольника AXY
, поэтому
150^{\circ}=\angle AXC=\angle AYX+\angle XAY\gt\angle AYX=\angle AYC=150^{\circ}.
Противоречие.
Автор: Иванов К. С.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2022, задача 7, младшая лига, с. 6