18361. Окружность \omega
лежит внутри окружности \Omega
и касается её внутренним образом в точке P
. Через точку S
, лежащую на окружности \omega
проведена к ней касательная. Эта касательная пересекает окружность \Omega
в точках A
и B
. Точка I
— центр \omega
. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AIB
.
Ответ. Пусть D
— центр окружности \Omega
, R
и r
— радиусы \Omega
и \omega
соответственно. Тогда искомое геометрическое место — окружность с центром D
и радиусом R-\frac{1}{2}r
(возможно без одной точки, соответствующей вырожденному случаю).
Решение. Лемма. Пусть F
— середина отрезка PS
. Тогда F
лежит на описанной окружности треугольника AIB
.
Доказательство. Пусть M
— точка пересечения прямой AB
с касательной к \Omega
, проведённой в точке P
. Тогда треугольник PMS
равнобедренный, а биссектриса MI
его угла при вершине M
проходит через точку F
. Тогда угол IFP
прямой, а описанная окружность треугольника IFP
касается обеих окружностей \Omega
и \omega
в точке P
(её диаметр IP
перпендикулярен прямой PM
).
По теореме о касательной и секущей
MA\cdot MB=MP^{2}~\mbox{и}~MF\cdot MI=MP^{2}=MA\cdot MB.
Отсюда следует утверждение леммы (см. задачу 114).
Пусть J
— центр описанной окружности треугольника AIB
, а T
— точка, этой окружности, диаметрально противоположная точке I
. Поскольку \angle IFT=\angle IFS=90^{\circ}
, то прямая PS
проходит через точку T
.
Пусть S'
— отличная от P
точка пересечения прямой PS
с окружностью \Omega
. Тогда AS\cdot SB=PS\cdot SS'
и AS\cdot SB=FS\cdot ST
(см. задачу 2627). Из этих равенств и равенства FS=\frac{1}{2}PS
получаем
PS\cdot SS'=FS\cdot ST=\frac{1}{2}PS\cdot ST~\Rightarrow~SS'=\frac{1}{2}PS\cdot ST~\Rightarrow~SS'=\frac{1}{2}ST,
поэтому JS'
— средняя линия треугольника IST
. Тогда
JS'=\frac{1}{2}IS=\frac{1}{2}r,
а также JS'\parallel ST
.
При гомотетии с центром P
, переводящей окружность \omega
в \Omega
, прямая IS
переходит в параллельную ей прямую DS'
. Тогда точка J
лежит на прямой DS'
. Значит,
DJ=DS'-JS'=R-\frac{1}{2}r.
Следовательно, точка J
лежит на окружности с центром D
и радиусом R-\frac{1}{2}r
. Поскольку приведённые выше рассуждения обратимы, то любая точка этой окружности удовлетворяет условию задачи.
Автор: Кожевников П. А.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада «Туймаада». — 2023, задача 8, младшая лига, с. 9