18364. Четырёхугольник ABCD
с непараллельными противоположными сторонами вписан в окружность. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке X
, а прямые AD
и BC
— в точке Y
. Биссектриса угла AXD
пересекает стороны AD
и BC
в точках E
и F
соответственно, а биссектриса угла AYB
пересекает стороны AB
и CD
в точках G
и H
соответственно. Докажите, что EGFH
— параллелограмм.
Решение. Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну дугу, поэтому
\angle XAC=\angle BAC=\angle BDC=\angle BDX.
Аналогично, \angle ACY=\angle BDY
. Значит, треугольники XAC
и XDB
подобны по двум углам, а также треугольники YAC
и YBD
подобны по двум углам. Тогда
\frac{XA}{XD}=\frac{XC}{XB}=\frac{AC}{DB}=\frac{YA}{YB}=\frac{YC}{YD}.
Пусть эти отношения равны s
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509).
\frac{AE}{ED}=\frac{XA}{XD}=\frac{XC}{XB}=\frac{CF}{FB}~\mbox{и}~\frac{AG}{GB}=\frac{YA}{YD}=\frac{YC}{YD}=\frac{CH}{HD}=s.
Тогда
\frac{AG}{GB}=\frac{AG}{GB}~\mbox{и}~\frac{AE}{ED}=\frac{DH}{HC}.
Значит, EH\parallel AC\parallel GF
и EG\parallel DB\parallel HF
. Следовательно, EGFH
— параллелограмм.
Источник: Канадские математические олимпиады. — 2011, задача 2, с. 1