1879. Сторона BC
параллелограмма ABCD
вдвое больше стороны CD
, P
— проекция вершины C
на прямую AB
, M
— середина стороны AD
. Докажите, что \angle DMP=3\angle APM
.
Указание. Пусть N
— середина стороны BC
. Тогда PN
— медиана прямоугольного треугольника BPC
, проведённая к гипотенузе BC
.
Решение. Пусть N
— середина стороны BC
, K
— точка пересечения BC
и PM
. Обозначим \angle APM=\alpha
. Тогда PN
— медиана прямоугольного треугольника BPC
, проведённая к гипотенузе BC
, поэтому PN=BN=AB=MN
(см. задачу 1109), а так как MN\parallel BP
, то
\angle MPN=\angle PMN=\angle BPK=\alpha,
\angle PBK=\angle BPN=\angle BPK+\angle KPN=\alpha+\alpha=2\alpha.
Следовательно,
\angle DMP=\angle CKP=\angle PBK+\angle BPK=2\alpha+\alpha=3\alpha=3\angle APM.