1919. Прямые, проходящие через точки M
и N
, лежащие вне окружности, касаются окружности в точках P
и Q
соответственно. Прямые PQ
и MN
пересекаются в точке L
. Докажите, что \frac{ML}{LN}=\frac{MP}{NQ}
.
Указание. Примените теорему Менелая (см. задачу 1622).
Решение. Пусть прямые MP
и NQ
пересекаются в точке S
. Применяя теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольнику MNS
и прямой PQ
, получим, что
\frac{MP}{PS}\cdot\frac{SQ}{QN}\cdot\frac{NL}{LM}=1,
а так как PS=SQ
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, то \frac{MP}{QN}\cdot\frac{NL}{LM}=1
. Следовательно, \frac{ML}{LN}=\frac{MP}{NQ}
. Что и требовалось доказать.