1935. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120^{\circ}
, большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна её большему основанию.
Ответ. 3.
Указание. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований (см. задачу 1226).
Решение. Пусть ABCD
— прямоугольная трапеция с основаниями AD\gt BC
и боковыми сторонами AB\lt CD
, M
и N
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно,
AC=AD=12,~\angle BCD=120^{\circ},~\angle ABC=\angle BAD=90^{\circ}.
Поскольку в равнобедренном треугольника CAD
угол при основании равен 60^{\circ}
, то этот треугольник — равносторонний, поэтому CD=AD=12
.
Опустим перпендикуляр CK
на основание AD
. Из прямоугольного треугольника CKD
находим, что KD=\frac{1}{2}CD=6
. Значит,
BC=AK=AD-KD=12-6=6.
Пусть P
— середина AB
. Тогда PM
— средняя линия треугольника ABC
, а PN
— средняя линия треугольника ABD
, поэтому PM\parallel BC
и PN\parallel AD
, а так как BC\parallel AD
, то PN\parallel BC
. Поскольку через точку P
можно провести не более одной прямой, параллельной BC
, точки P
, M
и N
лежат на одной прямой, поэтому
MN=PN-PM=\frac{1}{2}AD-\frac{1}{2}BC=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-6}{2}=3.