1938. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30^{\circ}
и 60^{\circ}
. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Ответ. 8; 2; 3.
Указание. Через середину M
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
.
Решение. Через середину M
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке P
и прямую, параллельную боковой стороне CD
, до пересечения с прямой AD
в точке Q
.
Если K
— середина AD
, то
PK=AK-AP=AK-BM=DK-MC=DK-QD=KQ,
поэтому MK
— медиана треугольника PMQ
, а так как
\angle PMQ=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ},
то PK=KQ=MK=3
(см. задачу 1109). Значит,
AD-BC=PQ=6,~AD+BC=10,
откуда находим, что AD=8
и BC=2
.
Пусть PM
— катет прямоугольного треугольника PMQ
, лежащий против угла в 30^{\circ}
. Тогда AB
— меньшая боковая сторона трапеции ABCD
и
AB=PM=\frac{1}{2}PQ=3.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 1.15, с. 11