1940. На прямую, проходящую через вершину A
треугольника ABC
, опущены перпендикуляры BD
и CE
. Докажите, что середина стороны BC
равноудалена от точек D
и E
.
Указание. Опустите перпендикуляр из середины стороны BC
на DE
.
Решение. Первый способ. Пусть K
— проекция середины M
стороны BC
на данную прямую. Тогда K
— середина отрезка DE
. Значит, MK
— серединный перпендикуляр к отрезку DE
. Следовательно, MD=ME
.
Второй способ. Пусть M
— середина стороны BC
, а прямые EM
и BD
пересекаются в точке F
. Поскольку BF\parallel CE
, треугольники BMF
и CME
равны по стороне (BM=CM
) и двум прилежащим к ней углам. Значит, ME=MF
, т. е. DM
— медиана прямоугольного треугольника DEF
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно, DM=ME
(см. задачу 1109).
Источник: Posamentier A. S., Salkind Ch. T. Challenging Problems in Geometry. — N.Y.: Dover Publication, 2017. — № 1.19, с. 5