2003. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ. 5.
Указание. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
, равен \frac{a+b-c}{2}
.
Решение. Пусть x
— гипотенуза, r
— искомый радиус вписанной окружности. Тогда
x(x-16)=15^{2},~\mbox{или}~x^{2}-16x-225=0.
Отсюда находим, что x=25.
Тогда второй катет равен \sqrt{16x}=\sqrt{16\cdot25}=20
. Следовательно,
r=\frac{15+20-25}{2}=5
(см. задачу 217).